Творческий путь этого художника-графика, иллюстратора, живописца поколения «шестидесятников» отличается закономерной целостной эволюцией. Все творческие периоды художника объединяет мотив постоянного присутствия смерти как вечной категории.
«Глубокая уверенность в существовании за миром материальным иного, высшего смысла выявляет родство искусства Свешникова с мировоззрением русского символизма… Все творческое наследие Свешникова можно рассматривать как один трагический текст, раскрывающий его мировоззрение», — пишет о художнике искусствовед Анна Чудецкая.
Отец художника происходил из дворянской семьи и до революции мечтал стать священником, позже работал бухгалтером. Мать родилась в многодетной семье заводского механика. Дар рисовальщика у Бориса проявился рано, школой ему послужили Пушкинский музей и семейная библиотека, особенно книги об искусстве Северного Возрождения.
В конце 1944 года Борис Свешников поступил в Московский институт прикладного и декоративного искусства, однако закончить обучение ему не удалось. Зимой 1946 года он был арестован по ложному обвинению в «антисоветской пропаганде», провел год в тюрьме и был приговорен к работам в лагере строгого режима. В лагерях ГУЛАГа Борис Свешников провел восемь лет.
Во время пребывания в лагере Свешниковым были созданы сотни рисунков и десятки живописных произведений. Работы переправлялись в Москву, к родителям художника. Этот цикл рисунков получил название «Лагерная сюита». Сам художник соотносил свои лагерные рисунки с образами сновидений, предварив их эпиграфом из Шекспира: «Мы сами созданы из сновидений, и эту нашу маленькую жизнь сон окружает...»
После освобождения из лагеря в 1954 году художник два года прожил в Тарусе, городке, ставшим пристанищем для тех, кому было запрещено жить в больших городах. Соседом Свешникова оказался Аркадий Акимович Штейнберг, также вернувшийся из лагеря. Впоследствии Штейнберг помог художнику получить работу иллюстратора в издательстве «Художественная литература».
В 1956 Борис Свешников был реабилитирован, и вернулся в Москву. Не примыкая ни к официальному кругу, ни к сообществу нонконформистов, художник смог реализовать свой дар рисовальщика и живописца. С 1958 он был членом Союза художников СССР. В этом же году он впервые экспонировал свои работы на выставке «ЭКСПО-58» в Брюсселе. В 1959 принял участие в 5-й выставке произведений молодых художников Москвы, в 1961 — в выставке произведений московских художников в Народном театре в Тарусе. С 1969 года Свешников активно принимал участие в групповых выставках по всему миру, представлял и свои персональные экспозиции.